Systèmes de Coordonnées

Eric T. Lefèvre^{∗}

Version 0.5 27 Août 1998

∗8 rue des Lampes 92190 Meudon Eric.Lefevre@obspm.fr etlefevre@chez.com

Eric Lefèvre 1

Contents

1 Coordonnées cartésiennes 2 2 Coordonnées cylindriques 3 3 Coordonnées sphériques 4 4 Formules et propriétés utiles 6 2 Systèmes de Coordonnées

Introduction

Ce petit texte donne quelques formules souvent utilisées (gradient, divergence, etc.) pour les trois systèmes de coordonnées les plus utilisés.

1 Coordonnées cartésiennes

Scalaires et vecteurs

U = U(x, y, z)
A⃗ = A_{x}e⃗_{x} + A_{y}e⃗_{y} + A_{z}e⃗_{z}

gradient

∇ ≡ ( \frac{∂}{∂x} ; \frac{∂}{∂y} ; \frac{∂}{∂z} ) A⃗ ≡ ( \begin{matrix}A_{x} \\ A_{y} \\ A_{z} \end{matrix} )

grad^{⟶}(U) = ∇U = \frac{∂U}{∂x} e⃗_{x} + \frac{∂U}{∂y} e⃗_{y} + \frac{∂U}{∂z} e⃗_{z}

divergence

div A⃗ = ∇ · A⃗ = \frac{∂}{∂x}A_{x} + \frac{∂}{∂y} A_{y} + \frac{∂}{∂z} A_{z}
= \frac{∂A_{x}}{∂x} + \frac{∂A_{y}}{∂y} + \frac{∂A_{z}}{∂z}

Laplacien scalaire et vectoriel

Laplacien (scalaire)

△U = ∇ · (∇U) = \frac{∂^{2}U}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂z^{2}}

Laplacien vectoriel

△A⃗ ≡ ( \begin{matrix}△A_{x} \\ △A_{y} \\ △A_{z} \end{matrix} )

Eric Lefèvre 3

Rotationnel

rot^{⟶} A⃗ = ∇ ∧ A⃗ = (\frac{∂A_{z}}{∂y} − \frac{∂A_{y}}{∂z} ) e⃗_{x}
+ (\frac{∂A_{x}}{∂z} − \frac{∂A_{z}}{∂x} ) e⃗_{y}
+ (\frac{∂A_{y}}{∂x} − \frac{∂A_{x}}{∂y} ) e⃗_{z}

Eléments de longueur, surface, …

dℓ = \sqrt{dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}}
dS(x, y) = dx dy
dS(x, z) = dx dz
dS(y, z) = dy dz
dV = dx dy dz

2 Coordonnées cylindriques

Scalaires et vecteurs

U = U(ρ, φ, z)
A⃗ = A_{ρ}e⃗_{ρ} + A_{φ}e⃗_{φ} + A_{z}e⃗_{z}
A_{ρ} = A_{x} cos φ + A_{y} sin φ
A_{φ} = −A_{x} sin φ + A_{y} cos φ

gradient

∇U = \frac{∂U}{∂ρ} e⃗_{ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{∂U}{∂φ} e⃗_{φ} + \frac{∂U}{∂z} e⃗_{z}

4 Systèmes de Coordonnées

divergence

∇ · A⃗ = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ} (ρA_{ρ}) + \frac{1}{ρ} \frac{∂A_{φ}}{∂φ} + \frac{∂A_{z}}{∂z}

Laplacien

△U = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ} (ρ\frac{∂U}{∂ρ} ) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{∂^{2}U}{∂φ^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂z^{2}}

Rotationnel

rot^{⟶} A⃗ = (\frac{1}{ρ} \frac{∂A_{z}}{∂φ} − \frac{∂A_{φ}}{∂z} ) e⃗_{ρ}
+ (\frac{∂A_{ρ}}{∂z} − \frac{∂A_{z}}{∂ρ} ) e⃗_{φ}
+ \frac{1}{ρ} [\frac{∂}{∂ρ} (ρA_{φ}) − \frac{∂A_{ρ}}{∂φ} ] e⃗_{z}

Eléments de longueur, …

dℓ = \sqrt{dρ^{2} + ρ^{2}dφ^{2} + dz^{2}}
dS(ρ, z) = dρ dz
dS(ρ, φ) = ρ dρ dφ
dS(φ, z) = ρ dφ dz
dV = ρ dρ dφ dz

3 Coordonnées sphériques

Scalaires et vecteurs

U = U(r, θ, φ)
A⃗ = A_{r}e⃗_{r} + A_{θ}e⃗_{θ} + A_{φ}e⃗_{φ}

A_{r} = A_{ρ} sin θ + A_{z} cos θ
A_{θ} = A_{ρ} cos θ − A_{z} sin θ
A_{φ} = −A_{x} sin φ + A_{y} cos φ

gradient

∇U = \frac{∂U}{∂r} e⃗_{r} + \frac{1}{r} \frac{∂U}{∂θ} e⃗_{θ} + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂U}{∂φ} e⃗_{φ}

divergence

∇ · A⃗ = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}A_{r}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂θ} (sin θA_{θ}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂A_{φ}}{∂φ}

Laplacien

△U = \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} (rU) + \frac{1}{r^{2} sin θ} \frac{∂}{∂θ} (sin θ\frac{∂U}{∂θ} ) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} θ} \frac{∂^{2}U}{∂φ^{2}}

Rotationnel

rot^{⟶} A⃗ = \frac{1}{r sin θ} [\frac{∂}{∂θ} (sin θA_{φ}) − \frac{∂A_{θ}}{∂φ} ]
+ \frac{1}{r sin θ} [\frac{∂A_{r}}{∂φ} − sin θ \frac{∂}{∂r} (rA_{φ})]
+ \frac{1}{r} [\frac{∂}{∂r} (rA_{θ}) − \frac{∂A_{r}}{∂θ} ]

Eléments de longueur, surface, …

dℓ = \sqrt{dr^{2} + r^{2}dθ^{2} + r^{2} sin^{2} θ dφ^{2}}
dS(r, θ) = rdrdθ
dS(r, φ) = r sin θ dr dφ
dS(θ, φ) = r^{2} sin θ dθ dφ
dV = r^{2} sin θ dr dθ dφ

6 Systèmes de Coordonnées

4 Formules et propriétés utiles

rot^{⟶}(∇U) = ∇ ∧ (∇U) = 0
div(∇U) = ∇ · (∇U) = △U
div(rot^{⟶} A⃗) = ∇ · (∇ ∧ A⃗) = 0
rot^{⟶}(rot^{⟶} A⃗) = ∇ ∧ (∇ ∧ A⃗) = ∇(∇ · A⃗) − △A⃗^{1}
L⃗ = \frac{h̄}{i} r⃗ ∧ ∇  moment cinétique
∇ = \frac{r⃗}{r} \frac{∂}{∂r} − \frac{i}{h̄r^{2}} r⃗ ∧ L⃗
△ = \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} r − \frac{L⃗^{2}}{h̄^{2}r^{2}}
C⃗ · (A⃗ ∧ B⃗) = A⃗ · (B⃗ ∧ C⃗) = B⃗ · (C⃗ ∧ A⃗)
A⃗ ∧ (B⃗ ∧ C⃗) = (A⃗ · C⃗)B⃗ − (A⃗ · B⃗)C⃗
A⃗ ∧ (B⃗ ∧ C⃗) + B⃗ ∧ (C⃗ ∧ A⃗) + C⃗ ∧ (A⃗ ∧ B⃗) = 0
(A⃗ ∧ B⃗) · (C⃗ ∧ D⃗) = (A⃗ · C⃗)(B⃗ · D⃗) − (A⃗ · D⃗)(B⃗ · C⃗)
(A⃗ ∧ B⃗) ∧ (C⃗ ∧ D⃗) = [(A⃗ ∧ B⃗) · D⃗] C⃗ − [(A⃗ ∧ B⃗) · C⃗] D⃗
= [(C⃗ ∧ D⃗) · A⃗] B⃗ − [(C⃗ ∧ D⃗) · B⃗] A⃗
∇(UV) = U ∇V + V ∇U
△(UV) = U △ V + 2 (∇U · ∇V) + V △ U
∇ · (UA⃗) = U ∇A + A⃗ · ∇U
div(UA⃗) = U div A⃗ + A⃗ · grad^{⟶}(U)
∇ ∧ (UA⃗) = U ∇ ∧ A⃗ + ∇U ∧ A⃗
rot^{⟶}(UA⃗) = U rot^{⟶} A⃗ + grad^{⟶} U ∧ A⃗

1Rappel: il s’agit du Laplacien vectoriel

∇ · (A⃗ ∧ B⃗) = B⃗ · (∇ ∧ A⃗) − A⃗ · (∇ ∧ B⃗) ^{2}
div(A⃗ ∧ B⃗) = B⃗ · rot^{⟶} A⃗ − A⃗ · rot^{⟶} B⃗

∇(A⃗ · B⃗) = A⃗ ∧ (∇ ∧ B⃗) + B⃗ ∧ (∇ ∧ A⃗) + (B⃗ · ∇)A⃗ + (A⃗ · ∇)B⃗
grad^{⟶}(A⃗ · B⃗) = A⃗ ∧ rot^{⟶} B⃗ + B⃗ ∧ rot^{⟶} A⃗ + (B⃗ · ∇)A⃗ + (A⃗ · ∇)B⃗

∇ ∧ (A⃗ ∧ B⃗) = A⃗ (∇ · B⃗) − B⃗ (∇ · A⃗) + (B⃗ · ∇)A⃗ + (A⃗ · ∇)B⃗
rot^{⟶}(A⃗ ∧ B⃗) = A⃗(div B⃗) − B⃗(div A⃗) + (B⃗ · ∇)A⃗ + (A⃗ · ∇)B⃗

où B⃗ · ∇ A⃗ est tel que:

[(B⃗ · ∇) A⃗]_{i} = B_{j}∂_{j}A_{i} = ∑_{j} B_{j} \frac{∂A_{i}}{∂x_{j}} (i = x, y, z)

∇(\frac{1}{U} ) = −\frac{∇U}{U^{2}}

∇(ln U) = \frac{∇U}{U}

△(ln U) = \frac{△U}{U} − \frac{(∇U)^{2}}{U^{2}}
△(∇U) = ∇(△U)
∇ · (f∇U) = f △ U + ∇f · ∇U

2Notez la différence avec la formule équivalente pour un vecteur. Ceci montre bien qu’il ne faut pas oublier que ∇ est un opérateur vectoriel et pas un simple vecteur.

Index

coordonnées, 2 cartésiennes, 2 cylindriques, 3 sphériques, 4

divergence, 2, 4, 5 gradient, 2, 3, 5 Laplacien, 2, 4, 5 moment cinétique, 6 rotationnel, 3–5 scalaire, 2–4 vecteur, 2–4